Points « entiers » sur une droite - Corrigé

Énoncé

1. On considère l'équation $(E):63x-12y=45$ , où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$ .

2. On note $(d)$ la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{21}{4}}x-{\displaystyle \frac{15}{4}}$ . À l'aide de la question 1, déterminer les points de la droite $(d)$ dont les coordonnées sont des entiers et dont l'ordonnée est comprise entre $0$ et $100$ .

Solution

1. On applique l'algorithme d'Euclide pour $63$ et $12$ :
$\begin{array}{r}\begin{array}{|cccc|}\hline a& b& q& r\\ 63& 12& 5& 3\\ 12& 3& 4& 0\\ \hline\end{array}\begin{array}{l}\\ \times 1& \text{conservation du PGCD}\\ \end{array}\end{array}$   
On a donc $\mathrm{PGCD}(63;12)=3$ , et comme $3$ divise $45$ , l'équation $(E)$ admet des solutions.

D'après l'algorithme d'Euclide, on a
$\begin{array}{rl}63=12\times 5+3& ⟺63\times 1-12\times 5=3\\ & ⟺63\times 15-12\times 75=45\end{array}$  
donc $(x_0;y_0)=(15;75)$ est une solution particulière de $(E)$ .

Soit $(x;y)$ une solution de $(E)$ . On a
$\begin{array}{rl}63x-12y=63\times 15-12\times 75& ⟺63(x-15)=12(y-75)\\ & ⟺21(x-15)=4(y-75).\end{array}$  
On en déduit que $21$ divise $4(y-75)$ .
Or $\mathrm{PGCD}(4;21)=1$ , donc, d'après le théorème de Gauss, $21$ divise $y-75$ , c'est-à-dire qu'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que  $\begin{array}{r}y-75=21k⟺y=21k+75.\end{array}$
On a alors
$\begin{array}{rl}21(x-15)=4(y-75)& ⟺21(x-15)=4\times 21k\\ & ⟺x-15=4k\\ & ⟺x=4k+15.\end{array}$  
Ainsi, les solutions de $(E)$ sont des couples de la forme $(x;y)=(4k+15;21k+75)$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .

Réciproquement, soit $k\in \mathbb{Z}$ quelconque et $(x;y)=(4k+15;21k+75)$ .
On a  $\begin{array}{rl}63x-12y& =63(4k+15)-12(21k+75)=63\times 15-12\times 75=45\end{array}$  donc $(x;y)$ est solution de $(E)$ .

En conclusion, les solutions de $(E)$ sont données par $S=\{(4k+15;21k+75):k\in \mathbb{Z}\}$ .

2. Soit $M(x;y)$ un point du plan. On a
$\begin{array}{rl}M(x;y)\in (d)& ⟺y=\frac{21}{4}x-\frac{15}{4}\\ & ⟺4y=21x-15\\ & ⟺21x-4y=15\\ & ⟺63x-12y=45\\ & ⟺(x;y)\text{ est solution de }(E).\end{array}$  

D'après la question 1, on en déduit que $(x;y)=(4k+15;21k+75)$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .

De plus,
$\begin{array}{rl}0⩽y⩽100& ⟺0⩽21k+75⩽100\\ & ⟺-75⩽21k⩽25\\ & ⟺\frac{-75}{21}⩽k⩽\frac{25}{21}\\ & ⟺-3⩽k⩽1\end{array}$  
car  $k\in \mathbb{Z}$  ;  $-{\displaystyle \frac{75}{21}}\approx -3,6$  et  ${\displaystyle \frac{25}{21}}\approx 1,2$ .

Sur la droite $(d)$ , il y a donc cinq points à coordonnées entières dont l'ordonnée est comprise entre $0$ et $100$ :

• pour $k=-3$ : $x=4\times (-3)+15=3$ et $y=21\times (-3)+75=12$ , 
  ce qui donne le point $M_{-3}(3;12)$ ;
• pour $k=-2$ : $x=4\times (-2)+15=7$ et $y=21\times (-2)+75=33$ , 
  ce qui donne le point $M_{-2}(7;33)$ ;
• pour $k=-1$ : $x=4\times (-1)+15=11$ et $y=21\times (-1)+75=54$ , 
  ce qui donne le point $M_{-1}(11;54)$ ;
• pour $k=0$ : $x=4\times 0+15=15$ et $y=21\times 0+75=75$ , 
  ce qui donne le point $M_0(15;75)$ ;
• pour $k=1$ : $x=4\times 1+15=19$ et $y=21\times 1+75=96$ ,
  ce qui donne le point $M_1(19;96)$ .