Points « entiers » sur une droite - Corrigé

Énoncé

1. On considère l'équation \((E) \colon 63x-12y=45\) , où \(x\) et \(y\) sont des entiers relatifs. Déterminer l'ensemble des solutions de \((E)\) .

2. On note \((d)\) la droite d'équation \(y=\dfrac{21}{4}x-\dfrac{15}{4}\) . À l'aide de la question 1, déterminer les points de la droite \((d)\) dont les coordonnées sont des entiers et dont l'ordonnée est comprise entre \(0\) et \(100\) .

Solution

1. On applique l'algorithme d'Euclide pour \(63\) et \(12\) :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 63&12&5&3\\ \hline 12&3&4&0\\ \hline\end{array} \begin{array}{ll}\ \\ \times 1 & \text{conservation du PGCD}\\ \ \end{array}\end{align*}\)   
On a donc \(\mathrm{PGCD}(63;12)=3\) , et comme \(3\) divise \(45\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.

D'après l'algorithme d'Euclide, on a
\(\begin{align*}63=12 \times 5+3& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 63 \times 1-12 \times 5=3 \\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 63 \times 15-12 \times 75=45\end{align*}\)  
donc \((x_0;y_0)=(15;75)\) est une solution particulière de \((E)\) .

Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) . On a
\(\begin{align*}63x-12y=63 \times 15-12 \times 75& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 63(x-15)=12(y-75)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 21(x-15)=4(y-75).\end{align*}\)  
On en déduit que \(21\) divise \(4(y-75)\) .
Or \(\mathrm{PGCD}(4;21)=1\) , donc, d'après le théorème de Gauss, \(21\) divise \(y-75\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}y-75=21k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=21k+75.\end{align*}\)
On a alors
\(\begin{align*}21(x-15)=4(y-75)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 21(x-15)=4 \times 21k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x-15=4k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=4k+15.\end{align*}\)  
Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(4k+15;21k+75)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(4k+15;21k+75)\) .
On a  \(\begin{align*}63x-12y& = 63(4k+15)-12(21k+75)= 63 \times 15-12 \times 75= 45\end{align*}\)  donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .

En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(4k+15;21k+75) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

2. Soit \(M(x;y)\) un point du plan. On a
\(\begin{align*}M(x;y) \in (d)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=\frac{21}{4}x-\frac{15}{4}\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 4y=21x-15\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 21x-4y=15\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 63x-12y=45\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ (x;y) \text{ est solution de } (E).\end{align*}\)  

D'après la question 1, on en déduit que \((x;y)=(4k+15;21k+75)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

De plus,
\(\begin{align*}0 \leqslant y \leqslant 100& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 0 \leqslant 21k+75 \leqslant 100\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ -75 \leqslant 21k \leqslant 25\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{-75}{21} \leqslant k \leqslant \frac{25}{21}\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ -3 \leqslant k \leqslant 1\end{align*}\)  
car  \(k \in \mathbb{Z}\)  ;  \(-\dfrac{75}{21} \approx -3,6\)  et  \(\dfrac{25}{21} \approx 1,2\) .

Sur la droite \((d)\) , il y a donc cinq points à coordonnées entières dont l'ordonnée est comprise entre \(0\) et \(100\) :

• pour \(k=-3\) : \(x=4 \times (-3)+15=3\) et \(y=21 \times (-3)+75=12\) , 
  ce qui donne le point \(M_{-3}(3;12)\) ;
• pour \(k=-2\) : \(x=4 \times (-2)+15=7\) et \(y=21 \times (-2)+75=33\) , 
  ce qui donne le point \(M_{-2}(7;33)\) ;
• pour \(k=-1\) : \(x=4 \times (-1)+15=11\) et \(y=21 \times (-1)+75=54\) , 
  ce qui donne le point \(M_{-1}(11;54)\) ;
• pour \(k=0\) : \(x=4 \times 0+15=15\) et \(y=21 \times 0+75=75\) , 
  ce qui donne le point \(M_0(15;75)\) ;
• pour \(k=1\) : \(x=4 \times 1+15=19\) et \(y=21 \times 1+75=96\) ,
  ce qui donne le point \(M_1(19;96)\) .